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수학적 미분을 이용한 최적화 사례소개 | ||||
수학적 미분을 이용한 최적화 사례소개 몇달전 타사 직원이(정확히는 과거회사 동료) 설비의 칸막이 문제로 고민을 하는 것을 잠시 함께 생각한 적이 있었다. 잠시 그때의 일을 기억하여 방법을 소개하고자 한다. 1M * 2M(가로 * 세로) size 의 10mm 두께의 판넬 10 장을 이용하여 설비의 외부를 막는 일로 고민을 하고 있는데 이 용기에 담을 내용물은 세라믹 분말로 가장 적은 공간에서 가장 큰 체적을 가질 수 있는 한뭉치의 창고가 되도록 설계를 하는 것이 관건이라고 한다. 고객이 요구하는 최적의 용적을 만들지 못하게 되면 재구매를 해야 하는데 판넬 10장을 이용해서 설비를 마감할 때 판넬이 남지않고 정확히 가로 세로, 높이를 얼마의 규격으로 하는 것이 가장 큰 용적을 만들어 내겠는지를 고민하였다. 아마도 CAD 를 이용하여 여기 저기 손을 보는 것 같았는데 나도 생각을 해보니 CAD 를 이용하여 이랬다 저랬다 하면서 도면을 수정하는 것은 간단해 보이지 않았다. 우리는 과거 고등학교시절 수학 2 시간을 이용하여 미적분학에 대해 공부를 한적이 있다. 미적분의 발견은 뉴튼과 라이프니찌가 지역을 떠나 거의 근사적으로 발견한 20세기 최대의 수학적 발견이었다. 미분은 고유의 위치 값을 이용하여 고유의 위치에 대한(X 측 좌표) 접선의 기울기를 구하는 학문으로 이를 여러 분야에 적용 시 여러 노동력을 동원하지 않고도 최적의 근사적인 값을 만들어 낼 수 있는 획기적인 방법으로 오늘날 지구상에서 로켓을 쏘아 올릴 때도 정확한 궤도값을 위해 이 분야를 사용함은 말할나위도 없는 것이다. 나는 이 미분법을 이용하여 아래와 같은 생각을 하였다. 먼저 판넬의 내측치수로 가정을 하여(두께부분이 밖으로 오픈되고 그 틈은 몰딩을 하는 것으로 구상) 위의 CAD 그림에서 처럼 원하는 용기의 가로 * 세로를 각각 X 하 놓고 길이방향을 Y로 정의한다면 체적 V = X^2 * Y --- 식1 일테고 단면적은 상부의 뚜껑부분을 제외한다면 단면적 A = 2X^2 + 3XY --- 식2 가 될 것이다. 미분가능하기 위한 조건은 조건상수에 대한 조건변수가 한개만 존재해야 하므로 위의 식에서 길이방향 Y를 소거하고 이를 단면의 크기 X 로 묶어 준다면 단일체적함수 V=f(x) 의 형태로 만들어 줄 수 있을 것이다. 식2는 다시 3XY = 2X^2 + A Y = 2X^2/3X + A/3X = 2X/3 + A/3X 단면 A 는 앞에서 1 * 2 * 10장 = 20 M^2 이므로 Y = 2X/3 + 20/3X --- 식3 이다 식 2은 다시 식 1에 대입하여 V = X^2 * (2X/3 + 20/3X) = 2X^3/3 + (20/3)X -- 식4 식4는 조건변수 한개로 단일화되어 X에 대해 미분가능하고 최적의 조건을 만족하기 위한 최대값의 존재는 일계도함수의 값이 "0" 이므로 식4의 일계도함수의 값은 0이다. 여기서는 이계도함수까지는 필요치 않을 것 같았다. 어차피 위로든 아래도든 담는 게 목적이므로.., Y' = 2X^2 + 20/3 = 0 X = ROOT(20/2) = 3.16 M 이고 Y 는 식 3에 X 값을 대입하여 4.216 M 이다 이제 이 판넬들을 이용하여 담을 수 있는 최대 분말가루의 체적은 식 1을 이용하여 V = 3.16^2 * 4.216 = 42.1 M^3 이 될 것이다.. 결과 X 치수 : 3.16M Y 치수 : 4.216M 용적 V : 42.1 M^3 당연히 직원은 그 값대로 도면작업을 하였고 결과는 대만족이었다. 만약 사용자(USER)가 최소한 가로나 세로, 길이의 값 한개만이라도 MAKER 에 값을 주웠더라면 더 쉽게도 가능하지 않았을까란 아쉬움도 남는다. 학문이란 배워서 남주는 것이 아니고 아무리 낡은 학문이라도 활용하기에 따라 좋은 병기도 될 수 있음을 명심해야 할 것이다. 
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